zeno's paradox

জেনোর প্যারাডক্স: সাধারণের বাইরে অসাধারণ চিন্তা

হারুন অর রশিদ
4.8
(17)
Bookmark

No account yet? Register

জেনোর প্যারাডক্স সম্পর্কে জানতে হলে আপনাকে আগে প্যারাডক্স কী তা বুঝতে হবে। প্যারাডক্স হচ্ছে কোনো একটি বিষয় নিয়ে সাধারণের বাইরে অসাধারণভাবে চিন্তা করা। এটি একধরনের আত্মবিরোধ বা ধোঁয়াশা, যা চিন্তাশীল ব্যক্তি ছাড়া অন্য কারো মাথায় সহজেই আসে না এবং অন্য কারো মাথায় আসলে তারা এটিকে মানতেও পারে না, আবার উড়িয়ে দিতেও পারে না। প্যারাডক্স চিন্তাশীল মানুষকে বিব্রত করে আর আমাদের মতো সাধারণ মানুষকে দেয় আনন্দ! সাধারণত ঘটনা এবং জ্ঞানকে মেলাবার জন্য পর্যাপ্ত ব্যাখ্যা পাওয়া যায় না বলেই এগুলোকে প্যারাডক্স বলা হয়।

অসামান্যতে লিখুন

জেনোর প্যারাডক্স এবং এর প্রস্তাবক

জেনোর প্যারাডক্স এর প্রস্তাবক জেনো অফ ইলিয়া।
জেনো অফ ইলিয়া। চিত্রসূত্র: Neos Kosmos

গ্রিক দার্শনিক জেনো অফ ইলিয়া খ্রিষ্টপূর্ব (৪৯০-৪৩০) অব্দে তার দশটি প্যারাডক্সের প্রস্তাব দিয়েছিলেন। তার নামানুসারে এই প্যারাডক্সগুলোকে জেনোর প্যারাডক্স বলা হয়। জেনোর চমকপ্রদ এই প্যারাডক্সগুলো গত পঁচিশ শতাব্দী ধরে দার্শনিক, বিজ্ঞানী, গণিতবিদেরা বিভিন্নভাবে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করেছেন। অনেক বিজ্ঞানী প্যারাডক্সগুলো ব্যাখা করতে না পেরে সীমাবদ্ধতার চাদর মুড়ি দিয়ে নিজের আংশিক চিন্তার মধ্যে ঘুমিয়ে পড়েছেন। অ্যারিস্টটলসহ আধুনিক দর্শনের সবচেয়ে বড় নাম বার্ট্রান্ড রাসেলও প্যারাডক্সগুলো স্বতন্ত্রভাবে ব্যাখ্যা করতে চেয়েছেন। তারা কিছু জায়গায় সফল হলেও চূড়ান্ত সত্য এই যে, এই প্যারাডক্সগুলো কোনো কোনো অংশে এখনও অমীমাংসিত রহস্যই রয়ে গেছে।  

এগুলো যেহেতু অনেকাংশেই অমীমাংসিত ফলে এর সমাধান দরকার নেই, দরকার হলো মীমাংসা বা সুরাহা। আমরা এই নিবন্ধে জেনোর গতি সংক্রান্ত বিখ্যাত চারটি প্যারাডক্স সম্পূর্ণ ভিন্ন আঙ্গিকে, সহজ ও সাবলীলভাবে, গণিতের ভাষায়, একদম নিজের মতো করে বোঝার চেষ্টা করবো।

প্রিয় পাঠক, আশা করি আমার এই প্যারাডক্স রহস্য উন্মোচনের শেষ অবধি সাথেই থাকবেন, হয় চিন্তিত না হয় অনাবিল আনন্দের এই প্যারাডক্স ভুবনের ব্যতিক্রম চিন্তাধারায় আপনাকে স্বাগতম।  

জেনোর প্রবর্তিত গতি সংক্রান্ত প্যারাডক্স

  1. অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ প্যারাডক্স
  2. ডাইকোটমি (Dichotomy) বা দ্বিবিভাজন প্যারাডক্স
  3. তীর প্যারাডক্স
  4. স্টেডিয়াম প্যারাডক্স

অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ প্যারাডক্স

দৌড় প্রতিযোগিতায় মহাবীর অ্যাকিলিস যদি কচ্ছপের পিছন থেকে দৌড় শুরু করে , অ্যাকিলিস কখনোই কচ্ছপকে হারিয়ে দিতে পারবে না।

এ আবার কেমন কথা, তাই না? হ্যাঁ, যা শুনেছেন একদম ঠিক শুনেছেন। নিচের চিত্রটা একটু খেয়াল করুন-

অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপের দৈাড় প্রতিযোগিতা
অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপের দৌড় প্রতিযোগিতা, চিত্রসূত্র: Philosophico-scientefic

জেনোর যুক্তি হচ্ছে, যদি অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে দ্বিগুন গতিতে এবং কচ্ছপের ½ মাইল পিছন থেকে দৌড় শুরু করে, তাহলে যখন অ্যাকিলিস ½ মাইল অতিক্রম করবে তখন কচ্ছপ অ্যাকিলিসের অর্ধেক গতিতে দৌড়ালেও সে আর ½  মাইল দূরত্বে না থেকে 1/4 দূরত্বে চলে যাবে। এইবার অ্যাকিলিস যখন কচ্ছপকে ধরতে আরাে 1/4 মাইল যাবে, কচ্ছপ তো আর ওখানে দাঁড়িয়ে থাকবে না? সে নিশ্চয়ই আরেকটু মানে 1/8 মাইল পরিমাণে এগিয়ে যাবে। তারপর অ্যাকিলিস যখন আরো 1/8 মাইল দূরত্বে আসবে, তখন কচ্ছপ 1/16 মাইল পরিমাণ এভাবে চলতেই থাকবে। তার মানে হচ্ছে, আকিলিস কখনােই কচ্ছপকে ছুঁতে পারবে না। এখানে একটা কথা বলে নিই, অ্যাকিলিস হচ্ছে গ্রীক পুরাণের মহাবীর।

এখন আপনি চিন্তা করুন তাে, আসলেই কি অ্যাকিলিস হেরে যাওয়ার কথা? কেউ যদি সামনে থাকে আর আমি যদি ওর পিছনে দ্বিগুণ গতিতে দৌড়াই তাহলে আমি কি ওকে ধরতে পারব না? চলুন দেখি গাণিতিক যুক্তি কি বলে-

দেখুন তো পুরো বিষয়টাকে এভাবে লেখা যায় কিনা-

প্যারাডক্স সম্পর্কিত গণিত, চিত্রসূত্র: লেখকের নিজস্ব সংগ্রহ
প্যারাডক্স সম্পর্কিত গণিত, চিত্রসূত্র: লেখকের নিজস্ব সংগ্রহ

অঙ্কটি থেকে আমরা দেখতে পেলাম যে X=1 হওয়ার পর মহাবীর অ্যাকিলিস মশাই কচ্ছপকে ছুঁতে পারবে। কিন্তু যদি পুরো দৌড় প্রতিযোগিতাটাই 1 হয় তাহলে কচ্ছপ তো আগেই পৌঁছে যাচ্ছে। সুতরাং, কচ্ছপ এই প্রতিযোগিতায় প্রথম ও একমাত্র বিজয়ী।

অ্যাকিলিসকে তো কচ্ছপ হারিয়েই দিল, কী আর করার! এবার চলুন এই প্যারাডক্স এর প্রতিবেশী জেনোর অপর একটি প্যারাডক্স ডাইকোটমি (Dichotomy) বা দ্বিবিভাজন প্যারাডক্স সম্পর্কে একটু জানি।

আরও পড়ুন: ইয়েলোস্টোন ন্যাশনাল পার্ক: সৌন্দর্যের সমারোহ নাকি মৃত্যু্র ফাঁদ

ডাইকোটমি (Dichotomy) বা দ্বিবিভাজন প্যারাডক্স

কোনো একটি গন্তব্যে যেতে হলে আপনাকে প্রথমে তার অর্ধেক দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে। এর পর বাকি অংশের অর্ধেক দূরত্ব। এভাবে যতটুকু রাস্তা বাকি থাকে তার অর্ধেক পথ ,অর্ধেক পথ করে গন্তব্যে পৌঁছতে আপনি অসীম দূরত্ব অতিক্রম করবেন।

ডাইকোটমি বা দ্বিবিভাজন প্যারাডক্স
 চিত্ৰ:ডাইকোটমি বা দ্বিবিভাজন প্যারাডক্স। চিত্রসূত্র: Wikimedia commons

মনে করি, আমরা একটা রাস্তা পার হবো। ডাইকোটমি বা দ্বিবিভাজন প্যারাডক্স অনুযায়ী প্রথমে আমাকে এই রাস্তাটার অর্ধেক (½), তারপর এই অর্ধেকের অর্ধেক মানে ¼ যেতে হবে। তারপর এই ¼ এর অর্ধেক ⅛ , ⅛ এর অর্ধেক 1/16 এভাবে অসীম পর্যন্ত অর্ধেক অর্ধেক করে সবশেষে আমি পুরো রাস্তা (1) অতিক্রম করবো। বিষয়টাকে যদি আমরা গাণিতিক ভাবে দেখি-

প্যারাডক্স সম্পর্কিত গণিত, চিত্রসূত্র: লেখকের নিজস্ব সংগ্রহ, Reference: অসীম ও কুমড়া তথ্য-চমক হাসান
প্যারাডক্স সম্পর্কিত গণিত, চিত্রসূত্র: লেখকের নিজস্ব সংগ্রহ, Reference: অসীম ও কুমড়া তথ্য-চমক হাসান

গাণিতিক যুক্তিও কিন্তু আমাদেরকে বলে যে, পুরো রাস্তা বা গন্তব্য (1) পৌঁছতে, আমাদের অসীম সংখ্যক দূরত্বই অতিক্রম করতে হবে। এখান থেকে একটা সিদ্ধান্তে আসা যায় যে, ডাইকোটমি বা দ্বিবিভাজন প্যারাডক্স এবং অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ প্যারাডক্স প্রায় কিছুটা সমধর্মী। এখানে বলে রাখি, এ দুটো ব্যাখাই গণিতের বিস্ময় চমক হাসানের দেয়া। এবার আমরা এক মুহূর্তের জন্য চিন্তা শূন্য হয়ে যাওয়ার মতো এমন দুটি প্যারাডক্স সম্পর্কে জানবো যা গণিতের ভাষায় সমাধান করা অত্যন্ত কঠিন। তবুও চেষ্টা করলাম।

ধরুন, আপনার সামনে একজন আর্চার ধনুক নিয়ে পাশের গাছ লক্ষ্য করে একটা তীর ছুড়ল। আপনি মোবাইল দিয়ে টুক করে তীর চলাকালীন একটা মুহূর্তের ছবি তুলে নিলেন। এবার ছবিটার দিকে একটু দৃষ্টি দিন তো! ও মা! ওই মুহূর্তে তো ওইটা স্থির! তাহলে চলছে কিভাবে? ভেবে দেখেছেন কি কখনো?

আপনি না ভাবলেও এই বিষয়টাই চিন্তাবিদ জেনো বহুকাল আগে সক্রেটিস, প্লেটোকালীন সময়ে বলে গেছেন। ব্যাখ্যা জানার জন্য তর না সইলে, আর দেরি কেন? চলুন জেনে নিই জেনোর তীর প্যারাডক্স আমাদের কী বলে।

তীর প্যারাডক্স

একটি গতিশীল তীর প্রতি মুহুর্তে (তাৎক্ষণিক বা ক্ষুদ্র সময়ের ব্যবধানে ) স্থির থাকে। তাই যদি কোনও মুহুর্তে তীরটিকে সরানো না হয় তবে তা কখনোই সরবে না। অর্থাৎ প্রতিটি তাৎক্ষণিক সময়ে সবকিছু গতিহীন।

একেবারে সহজ কথায় জেনোর ভাষায় যদি বলি-

প্রতিটি তাৎক্ষণিক সময়ে সবকিছু গতিহীন।

একটি চলমান তীর,চিত্রসূত্র:BBC Radio
একটি চলমান তীর। চিত্রসূত্র: BBC Radio

যাই হোক, জেনো যেহেতু এটা বলেছেন, ভালো কথা, মেনে নিলাম, আর না মেনেও যাই কোথায়? কিন্তু এটা প্রমাণ করার কি কোন উপায় আছে?

উপায় তো অবশ্যই আছে, সেটা হলাে খুব কাছাকাছি দুটো বিন্দু নিয়ে চিন্তা করা! সে বিন্দু দুটি যত কাছাকাছি হবে প্রমাণ করা তত সুবিধাজনক। এখানেই আমাদের সমস্যা। সময়ের ব্যবধান কত কাছাকাছি আমরা নিতে পারি? 

এটা হতে হবে অনেক ক্ষুদ্র। ঘণ্টা নয়, মিনিট নয়, সেকেন্ডও নয়, আরও ছােট, আরও অনেক ছােট। আমাদের ছুটতে হবে ক্ষুদ্র থেকে ক্ষুদ্রের পানে! একে গাণিতিকভাবে লেখা হয় ডেল (t→ 0) বা সময়ের ব্যবধান শূন্যের খুব খুব সন্নিকটবর্তী! এই শূন্যের সন্নিকটবর্তী ধারণা আমরা ষোড়শ শতাব্দীর দুইজন বিজ্ঞানী নিউটন এবং লিবনিজের হাত ধরে পাই। তারা এর নাম দেন ক্যালকুলাস। আমরা এখন তীর প্যারাডক্স প্রমাণের জন্য এই ক্যালকুলাসকেই টেনে নিয়ে আসব।

প্যারাডক্স সম্পর্কিত গণিত, চিত্রসূত্র: লেখকের নিজস্ব সংগ্রহ
প্যারাডক্স সম্পর্কিত গণিত, চিত্রসূত্র: লেখকের নিজস্ব সংগ্রহ

গাণিতিক সমাধান থেকে আমরা সহজেই দেখলাম যে তাৎক্ষণিক সময়ে তীর আসলেই স্থির। এবার সবশেষে আমরা তাক লাগানো স্টেডিয়াম বা চলমান প্যারাডক্স ব্যাখা করে আজকের নিবন্ধ জেনোর প্যারাডক্স রহস্যের ইতি টানবো।

স্টেডিয়াম বা চলমান সারি প্যারাডক্স

  Half the time may be equal to double the time!

প্রদত্ত অর্ধেক সময়কাল সেই সময়ের দ্বিগুণের সমান!

স্টেডিয়াম প্যারাডক্স
স্টেডিয়াম প্যারাডক্স, চিত্রসূত্র: লেখকের নিজস্ব সংগ্রহ

মনে করি, তিনটি সারি (A,B,C) সমান্তরালভাবে পরস্পর একই দূরত্বে সাজানো আছে। জেনোর যুক্তি হচ্ছে যদি A নাম্বার সারি সম্পূর্ণ স্থির থাকে এবং B ও C সমান গতিবেগে পরস্পরের বিপরীত দিকে অগ্রসর হয় তাহলে A এর মাঝ বরাবর আসতে C দুইটি সারি অতিক্রম করলেও B মাত্র একটি সারি অতিক্রম করে। অর্থাৎ B এর অর্ধেক সময়ে C দ্বিগুণ দূরত্ব অতিক্রম করে।

হায়! হায়! এ আবার কেমন কথা! চিত্র লক্ষ্য করে আবার পড়ুন! জি, আমার কথা না, ইহা হইলো পণ্ডিত জেনোর কথা। এটা কি আদৌ প্রমাণ করা সম্ভব? দেখা যাক, প্রমাণ করা যায় কি না!

প্যারাডক্স সম্পর্কিত গণিত, চিত্রসূত্র: লেখকের নিজস্ব সংগ্রহ
প্যারাডক্স সম্পর্কিত গণিত, চিত্রসূত্র: লেখকের নিজস্ব সংগ্রহ

সুতরাং, “প্রদত্ত অর্ধেক সময়কাল সেই সময়ের দ্বিগুণের সমান।” (প্রমাণিত) 

হা হা, গাণিতিক প্রমাণও আমাদেরকে বলে যে, ”প্রদত্ত অর্ধেক সময়কাল সেই সময়ের দ্বিগুণের সমান।”

প্রত্যেকটি প্যারাডক্সই কি মজার আর চমৎকার তাই না! প্রতিটি প্যারাডক্সের অন্তর্নিহিত যুক্তিকে চাইলেও আমরা অবজ্ঞা করতে পারি না।

আমাদের সবার একটা মানসিকতা হচ্ছে কিছু নির্ধারিত কথা শুনে তা সহজে মুখস্থ করে ফেলি, কিন্তু সবকিছুকে একই চিন্তার ধারাবাহিকতায় উপলব্ধি করাতে পারি না। আসুন আমরা মুখস্থ বিদ্যা তথা গাইড বইকে পরিহার করি। একটা নিৰ্দিষ্ট গাইডের প্রথম ১০ থেকে ১৫টা সৃজনশীল অংক ভালোভাবে রপ্ত করলে পরীক্ষায় GPA-5 পাওয়া যায় কিন্তু শিক্ষার অনাবিল আনন্দ কখনোই উপভোগ করা যায় না। প্রকৃত শিক্ষা তো সেটাই, যা রাত দুটোয় আপনাকে জাগ্রত করে চিন্তা করতে বাধ্য করায়। নির্দিষ্ট একটা চিন্তার জট কোনোভাবে খুলতে পারলে আপনাকে তা এমন অনুভূতি এনে দেয় যা স্বর্গীয় আনন্দময় অনুভূতির চেয়ে কোন অংশেই কম নয়।

তাই, আপনি কিংবা আপনার সন্তানকে প্রকৃত শিক্ষায় শিক্ষিত করার ব্রত আজই গ্রহণ করুন। আপনার ব্রতের কারণে হয়তো অদূর ভবিষ্যতে বাংলার বুকেও জন্ম নিবে জেনো, এরিস্টটল, রাসেল, নিউটন, লিবিনিজ, আইনস্টাইন এর মতো চিন্তাশীল মহামানবের। আমি, আপনি কিংবা আমরা সঠিক শিক্ষায় শিক্ষিত হলেই, জাতি পাবে সুন্দর একটা আগামী আর আমরা পাবো সুখী, সমৃদ্ধ, উন্নত চেতনাময়, দুর্নীতি, স্বজনপ্রীতিমুক্ত সুন্দর একটি বাংলাদেশ। 

গ্রন্থ সহায়িকা:

  1. গণিতের রঙ্গে, লেখক: চমক হাসান, ISBN:978-984-8875-86-5, প্রকাশনী: আদর্শ
  2. নিমিখ পানে-১, লেখক: চমক হাসান, ISBN:978-984-8040-29-4, প্রকাশনী: আদর্শ

তথ্যসূত্রঃ

  1. IEP
  2. Resolving Zeno’s Paradoxes with Discrete Space-Time
  3. Applying the Immobility Theory to Thoroughly Solve the Three Zeno’s Paradoxes

ফিচার ছবিসূত্র: Ted-Ed

আপনার অনুভূতি জানান

Follow us on social media!

আর্টিকেলটি শেয়ার করতে:
No Thoughts on জেনোর প্যারাডক্স: সাধারণের বাইরে অসাধারণ চিন্তা

কমেন্ট করুন


সম্পর্কিত নিবন্ধসমূহ:

error: Content is protected !!